cijfers

De oude Griek Pythagoras was hij een fervent bespeler van de lier. Dat zou je misschien niet verwachten bij een radicale getallenevangelist die niet alleen een klinkende wiskundige stelling heeft voortgebracht, maar er niet voor terugdeinsde om tegenstanders van zijn cijfergeloof uit de weg te ruimen.

Pythagoras was niet alleen een getalenteerde wiskundige, maar zou ook een fundamentalistische romanticus blijken, als het gaat om het uitdragen en verdedigen van zijn wereldbeeld, dat voornamelijk uit getallen bestond.
Je zou kunnen zeggen dat het allemaal met de lier was begonnen. Deze ronde, handzame voorloper van de harp had vier tot zeven snaren, die tussen de gebogen armen over een klankkast waren gespannen. Pythagoras ontdekte tijdens het beroeren van de snaren van zijn lier, dat de tonen zich op een afgemeten manier aan de wereld lieten horen, wanneer hij de snaren op bepaalde plekken indrukte. Wanneer hij de snaar precies in het midden met een vinger indrukte en vervolgens aansloeg, steeg de toonhoogte van die snaar exact een octaaf. Een snaar die verdeeld werd in twee delen met de onderlinge verhouding twee staat tot drie liet een kwint horen, een verschil van vier stappen. Hij constateerde ook tal van andere regelmatigheden tussen enerzijds de lengteverhoudingen van de snaar en anderzijds de verschillen in toonhoogtes. Argeloze luisteraars hoorden muziek, Pythagoras hoorde getalsverhoudingen.
Mooie getalsverhoudingen leveren dus harmonie. Dat strekte zich volgens Pythagoras en zijn volgelingen uit tot ver buiten de muziek, tot alle uithoeken van de gehele natuur. Zelfs de hemellichamen maakten muziek, volgens Pythagoras, wanneer zij in hun eeuwige hemelse cirkels hun baantjes rond de aarde trokken. Jupiter en Saturnus hadden de hoogste omloopsnelheid en moesten dus ook de hoogste tonen voortbrengen. Dat geen mens die ooit gehoord had deed er niet veel toe: muziek, geluid, bewegingen en vormen: alles was in de taal van de getallen uit te drukken, alles was wiskundig verklaarbaar.

Dat de Pythagoreeërs strikt waren in de leer wordt geïllustreerd door een anekdote, tekenend voor de preoccupatie die Pythagoras en zijn volgers hadden met een wereld bestaande uit rationele getallen. Een leerling van Pythagoras, Hippasus, had beweerd dat er ‘irrationele getallen’ bestaan. (Terugkijkend zou je kunnen zeggen: wat heb je aan de benaming rationele getallen, wanneer er niet ook iets als irrationele getallen zou bestaan? Dat zou een legitieme vraag zijn, waarvan het antwoord is gelegen in, inderdaad, het bestaan van irrationele getallen.) Irrationele getallen zijn getallen die niet als breuk te noteren zijn. Een bekend voorbeeld is √2. De vierkantswortel uit twee is ongeveer 1,4 met een oneindig aantal decimalen daar nog achter. En een getal waarvan het aantal decimalen verder reikt dat het aantal sterren aan een heldere nachtelijke Griekse hemel kan niet als breuk geschreven worden. Ook het getal π, dat onder anderen de verhouding weergeeft tussen de straal en de omtrek van een cirkel, is een irrationeel getal (circa 3,1416 en dan nog oneindig verder). Hippasus beweerde niet alleen dat er naast mooie breuken ook getallen bestonden die irrationeel waren, hij bewees het ook. Hippasus oversteeg daarmee in zekere zin zijn meester. De Pythagoreeërs leefden bij de idee van harmonieuze getalsverhoudingen. Getallen die je niet keurig als verhouding kon noteren droegen niet bij aan het levensgeluk van deze mensen. Het ging er recht tegenin zelfs, zagend aan de stoelpoten van de wiskunde van Pythagoras. Irrationele getallen waren een complete verrassing. Ze waren zeer ongewenst. Hippasus’ ontdekking werd niet echt gewaardeerd. De overlevering wil dat hij, in opdracht van de oude grijze Pythagoras zelf, voor zijn prestatie overboord werd gekieperd tijdens een tocht op de Middellandse Zee. Andere versies gaan ervan uit dat hij slechts verbannen werd.
Alsof de ontdekking van Hippasus nog niet voldoende verstoring had veroorzaakt onder de Pythagoreeërs, volgde daarop ook nog eens dat de mooiste verhouding ter wereld, de zo bewonderde Gulden Snede, ook een irrationeel als basis heeft, en geen mooie, nette breuk tussen twee gehele getallen. Het aantal decimalen achter de 1,6 van de Gulden Snede gaat eindeloos door, stopt nooit, tot gekmakens toe van in ieder geval de Pythagoreeërs, die besloten dat het irrationele karakter van de Gulden Snede geheim moest blijven. De democratie is weliswaar in Griekenland uitgevonden, maar daar had Pythagoras duidelijk niet veel mee van doen. Begonnen als visionair, eindigde hij als sekteleider.

(Meer verrassende verhalen over getallen zijn te lezen in mijn boek Tien verdwenen dagen.)
Wil je ontdekkingsschrijvernieuws blijven ontvangen? Meld je dan aan voor ontvangst van de nieuwsbrief op www.ontdekkingsschrijver.nl.
Of volg @MichielvStraten op Twitter.

Stephen Unwin, waarover ik in mijn vorige blog schreef, vond dat hij kon uitrekenen dat de kans dat God bestaat 67% is. De Franse Blaise Pascal ging in 1669 nog een stap verder. Hij rekende uit wat de gevolgen zijn van wel of niet geloven. Deze Franse wis- en natuurkundige maakte hierbij dankbaar gebruik van het wiskundige begrip ‘oneindig’. Zijn redenering omvatte twee mogelijke scenario’s: één waarin God wel bestaat, en één waarin Hij niet bestaat. De gok van Pascal.

Stel (eerste scenario): God bestaat niet. Aan het eind van je leven gekomen heb je het dan als gelovige weliswaar je hele leven bij het verkeerde einde gehad, maar ach, niks aan de hand. Je gaat dood, en er is niks meer. Einde verhaal. Uitkomst: geen schade. De niet-gelovige had het al die tijd juist. Ook dood. Ook geen schade. Verschilletje: Pascal beredeneert dat het in dit scenario toch beter is om in God te geloven, want gelovigen leiden betere levens en maken de wereld een stukje beter, volgens hem. Een klein maar niet onbelangrijk voordeel voor geloven dus, in dit scenario.
Het tweede scenario is: God bestaat wel. De gelovige wacht de eeuwige hemelse velden van geluk, want hij was in zijn aardse leven immers fan van de juiste club, want hem recht geeft op gratis toegang. Oneindig lang. En dus is zijn geluk oneindig groot. De heiden wacht een ander lot, volgens de gok van Pascal. Hij die het zijn hele leven heeft vertikt om de Waarheid en er daardoor waarschijnlijk op los geleefd heeft te zien krijgt voor straf een toegangskaartje voor de hel. Oneindig lang. Niet leuk.
Tot zover lijken deze scenario’s vooral op iets wat misschien iedereen had kunnen verzinnen. Maar Pascal maakte deze beredenering helemaal af met toevoeging van rekenwerk. Gesteld dat de kans dat God bestaat heel klein zou zijn, bijvoorbeeld één procent, dan zouden de uitkomsten ‘hemel’ en ‘hel’ nog steeds oneindig groot zijn. Want: 1% van oneindig is nog steeds oneindig. Zoals ook 0,000000000000001% van oneindig nog steeds oneindig is. Dat betekent in scenario 1 (God bestaat niet) een uitkomst van nul. Niks. Maar scenario twee komt op oneindig lang leed (voor de ongelovige) of oneindig paradijs (voor de gelovige). Ergo: Pascal beredeneerde dat het statistisch gezien het beste is om in God te geloven, los van of Hij nou wel of niet bestond. De uitkomst van wat later bekend is geworden als ‘De Gok van Pascal’ is dan ook: neem aan dat God bestaat.

Elke wiskundige zal onderschrijven dat een hele kleine kans op oneindigheid nog steeds oneindigheid als rekenkundige uitkomst zal hebben. In dat opzicht lijkt Pascal’s redenatie te staan als een huis. Niemand wil toch kiezen voor een oneindig bestaan in de hel? Dus: heeft Pascal gelijk? Doen ongelovigen er goed aan om zich te bekeren? Om die vraag te kunnen beantwoorden is het nodig om de argumentaties van Blaise Pascal eens aan een kritische analyse te onderwerpen. Niet zozeer om het eindresultaat te bekritiseren, maar om na te gaan waar eventuele valkuilen zitten in de uiteenzetting.
De belangrijkste valkuil in ‘De Gok van Pascal’ is in eerste instantie misschien niet eens zo heel zichtbaar. Die zit in de stap tussen uitkomst en bewijs. Dat het statistisch gezien het veiligst zou zijn om in God te geloven is nog geen bewijs voor zijn bestaan. Het is alleen de uitkomst van een rekensom.
Een ander probleem in ‘De Gok van Pascal’ is op het eerste gezicht misschien ook niet zo heel erg duidelijk, maar is wel helder te maken. En wel als volgt: als ik stel dat er naast de God van Pascal nog een andere God bestaat (laten we hem Joris noemen), kan ik daar dezelfde beredenering op los laten. Maar als ik toevoeg dat bij Joris een duivel en een hel hoort die oneindig veel erger zijn dan die van de Christelijk God van Pascal, is het statistisch gezien veiliger om in Joris te geloven dan in die van Pascal. Ergo: je kunt beter aannemen dat mijn God, mijn duivel en mijn hel bestaan.
Graag gedaan.

Wil je ontdekkingsschrijvernieuws blijven ontvangen? Meld je dan aan voor ontvangst van de nieuwsbrief. Of volg @MichielvStraten op Twitter.

(Lees meer over onze irrationele omgang met geloof in mijn boek dat verschijnt in het voorjaar van 2016. Zie ook https://www.ontdekkingsschrijver.nl/boeken/.)

The probability of GodDe Britse natuurkundige Stephen Unwin ‘bewees’ in 2003 dat het zeer waarschijnlijk is dat God bestaat. Nee, vergeef me, ik moet preciezer zijn (want dat was hij ook): hij rekende uit dat de kans dat God bestaat 67% is. Jawel! Voor deze opzienbarende rekensom combineerde hij zijn kundigheid in de kansberekening met zijn geloof als, tja, gelovige. Unwin maakte bij zijn zoektocht naar de Waarheid gebruik van Bayesiaanse statistiek. Voor de paar lezers onder u die geen expert zijn in die tak van de statistiek zal ik Unwin’s rekensom even toelichten. Geen nood, het is niet ingewikkeld.

Unwin begon met het uitgangspunt dat, wanneer er aangaande het bestaan van God twee mogelijke uitkomsten zijn (hij bestaat wel of hij bestaat niet), we er goed aan doen om elk van die twee mogelijkheden dezelfde kans toe te dichten. Gevalletje fifty-fifty dus. De Bayesiaanse statistiek schrijft voor dat je vervolgens argumenten introduceert en die vervolgens elk een waarde geeft. Al die waardes hebben invloed het gekozen uitgangspunt van, in dit geval, 50-50. Unwin voerde zes argumenten in in zijn Bayesiaans rekenmodel. Zijn eerste argument betrof het bestaan van goedheid. De net genoemde statistische a priori kans dat God bestaat op 50% stijgt hierdoor volgens Unwin naar een a posteriori waarschijnlijkheid van 91%*. Dat tikt lekker aan. Helaas daalt dat percentage door het invoeren van het volgende argument, zijnde het bestaan van menselijke slechtheid, naar 83%. Valt nog mee. Natuurlijke slechtheid (aardbevingen, kanker, enzovoort) krijgt een zwaardere invloed, want de kans op Gods echtheid daalt hierdoor ineens naar 33%. Wonderen en religieuze ervaringen van gelovigen (!) doen uiteindelijk het rekenwerk eindigen in de eerder genoemde 67% kans op het bestaan van God.

Iedereen mag hier natuurlijk het zijne van denken. En ik denk er het mijne van. En ik wil je ook uitleggen waar dat laatste uit bestaat. Want Unwin ging duidelijk niet over één nacht ijs. En dat doe ik ook niet.
Unwin doet alsof het logisch is om als uitgangspunt te nemen dat de a priori kans dat God bestaat fifty-fifty is. Dat is hetzelfde als besluiten dat de a priori kans op het bestaan van Marsmannetjes 50% is; ook daarvoor zijn er namelijk slechts twee mogelijkheden: ze bestaat wel of ze bestaan niet. (Nog beter illustreert de sollicitant dit, op gesprek bij het Centraal Bureau voor Statistiek voor de functie van statistisch medewerker. ‘Er staat hier een schaal met knikkers’, zegt de personeelsmanager tegen hem. ‘Er zit 1 rode knikker in en 99 blauwe. Wat is de kans dat u, zonder te kijken, de rode pakt?’ De sollicitant denkt even na en zegt dan: ‘Vijftig procent: je pakt hem wel of je pakt hem niet!’ Slechte grap? Misschien. Maar dat was een grap, en grappen mogen slecht zijn. Serieus bedoelde rekensommen niet.)
Speciale aandacht vraag ik voor de twee laatstgenoemde van Unwin’s argumenten: het bestaan van wonderen en religieuze ervaringen. Is dit soort ‘gebeurtenissen’ nou net niet voorbehouden aan, eh, gelovigen?
Vervolgens rammel ik nog even aan de verder zo onberispelijk ogende rekenkundige benadering van Unwin’s statistische benadering. Hoewel de kwantificering van elk door Unwin genoemd argument zijn werkwijze doet lijken als iets met een hoog objectiviteitsgehalte, stort dat idee als een kaartenhuis in elkaar wanneer je je realiseert dat het lijstje door Unwin opgevoerde argumenten volkomen arbitrair is. De genoemde pro-argumenten zijn beargumenteerbaar. Ze zijn aanvulbaar met een oneindig scala van contra-argumenten, waarvan Unwin er echter slechts twee (!) opnam in zijn berekening. (Dat scala hoef ik toch niet te noemen hier? Pak de krant van vandaag er even bij, en je hebt al snel een representatief lijstje.) En voor de oplettende lezer: inderdaad is het lijstje pro-argumenten ook aan te vullen met tal van nog niet door Unwin genoemde goedheden. En zelfs die constatering doet eerder afbreuk het Godsbewijs van Unwin dan dat het de boel verstevigt, want het laat zien dat je vooral eruit krijgt wat je er zelf in stopt.

Unwin noemde zijn methode ‘A simple calculation that proves the ultimate truth’. De eerste drie woorden uit dat citaat lijken me juist.

* Als je precies wilt weten hoe Unwin zijn rekensom uitvoerde verwijs ik je naar zijn boek The Probability of God (Three Rivers Press, 2003).

(Lees meer over onze irrationele omgang met geloof in mijn boek dat verschijnt in het voorjaar van 2016. Zie ook https://www.ontdekkingsschrijver.nl/boeken/.)

Nieuwsbrief
Blijf op de hoogte van nieuws, verhalen en andere ontdekkingsschrijverij. Je kunt je hier aanmelden voor mijn maandelijkse nieuwsbrief.